学生基础性作业九年级数学人教版
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（1）发现问题
在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数时，不推荐“逐个”行数．
（2）提出问题
小明提出问题：300是前多少行的点数和？
（3）分析问题
同学们分别从数和形两个角度探究前n行的点数和
从数的角度看
通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．
例：求前10行的点数．
$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 10$①，
将①式倒排序：
$S = 10 + 9 + \cdots + 2 + 1$②，
①+②，即
$2S=(10 + 1)+(9 + 2)+\cdots+(10 + 1)$
$= 11×10 = 110$，
$\therefore S = 55$，
$\therefore$前10行点数和为55．
从形的角度看
利用图形的特征进行计算．如图（2），将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，原三角形阵点数和为平行四边形阵点数和的一半．
（4）解决问题
根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前n行的点数和（用含n的代数式表示），并解决小明提出的问题．
（5）应用延伸
如果把三角形点阵的点数依次换为1，3，5，7，…，$2n - 1$，…（如图（3）），这个新的三角形点阵前n行的点数和能是600吗？请说明理由．
答案：（4）设前n行的点数和为$S$，则$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$①，
倒序得$S = n + (n - 1) + \cdots + 2 + 1$②，
①+②，得$2S = (n + 1) + (n + 1) + \cdots + (n + 1) = n(n + 1)$，
$\therefore S = \frac{n(n + 1)}{2}$。
令$\frac{n(n + 1)}{2} = 300$，
$n^2 + n - 600 = 0$，
解得$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2400}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{-1 \pm 49}{2}$，
$n_1 = 24$，$n_2 = -25$（舍去）。
答：300是前24行的点数和。
（5）新的三角形点阵前n行的点数和为$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$，
设其和为$T$，则$T = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$①，
倒序得$T = (2n - 1) + \cdots + 5 + 3 + 1$②，
①+②，得$2T = 2n + 2n + \cdots + 2n = 2n \cdot n$，
$\therefore T = n^2$。
令$n^2 = 600$，$n = \sqrt{600} = 10\sqrt{6} \approx 24.49$，不是整数，
$\therefore$不能是600。
