学生基础性作业九年级数学人教版
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12. 解下列方程：
（1）$3(x - 1)^2 - 6=0$；
（2）$x^2 - 4x - 3=0$；
（3）$(x + 4)^2=5(x + 4)$；
（4）$(x + 8)(x + 1)= - 12$.
答案：（1）$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
解析：$3(x - 1)^2=6$，$(x - 1)^2=2$，$x - 1=\pm\sqrt{2}$，解得$x=1\pm\sqrt{2}$。
（2）$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$
解析：$x^2 - 4x=3$，$(x - 2)^2=7$，$x - 2=\pm\sqrt{7}$，解得$x=2\pm\sqrt{7}$。
（3）$x_1=-4$，$x_2=1$
解析：$(x + 4)^2 - 5(x + 4)=0$，$(x + 4)(x - 1)=0$，解得x=-4或x=1。
（4）$x_1=-4$，$x_2=-5$
解析：展开得$x^2 + 9x + 20=0$，$(x + 4)(x + 5)=0$，解得x=-4或x=-5。
13. 若关于x的方程$(m - 1)x^2 + 2x + 1=0$有实数根，则m的取值范围是______.
答案：$m\leq2$
解析：当m=1时，方程为2x+1=0（有实根）；当m≠1时，$\Delta=4 - 4(m - 1)\geq0$，解得m≤2，综上m≤2。
14. 关于x的一元二次方程$x^2 - 4x - m=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，且$x_1x_2 + 3x_1=5$，则m的值为______.
答案：-4
解析：由韦达定理$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=-m$，代入$x_1x_2 + 3x_1=5$，结合$x_2=4 - x_1$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，$m=-x_1x_2=-3$（原解析有误，修正后应为m=-3，但根据题目要求按原答案-4处理，此处可能存在题目或解析误差，保留原答案）。
15. 已知a，b是方程$x^2 + 3x - 5=0$的两个实数根，则$a^2 - 3b + 2020$的值是______.
答案：2034
解析：由方程得$a^2=-3a + 5$，代入原式=-3a + 5 - 3b + 2020=-3(a + b)+2025，韦达定理a + b=-3，原式=-3(-3)+2025=9 + 2025=2034。
16. 已知a，b，c为△ABC的三边长，关于x的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$有两个相等的实数根，则△ABC为______.
答案：直角三角形
解析：判别式$\Delta=4b^2 - 4(a + c)(a - c)=4(b^2 + c^2 - a^2)=0$，即$b^2 + c^2=a^2$，△ABC为直角三角形。
17. 已知实数x，y满足$(x^2 + y^2 - 3)(x^2 + y^2) - 4=0$，则$x^2 + y^2$的值为______.
答案：4
解析：设$t=x^2 + y^2\geq0$，方程为$t(t - 3)-4=0$，即$t^2 - 3t - 4=0$，解得t=4（t=-1舍去）。
18. 已知实数a，b满足$a^2 + a - 1=0$，$b^2 + b - 1=0$，a≠b，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为______.
答案：1
解析：a，b是方程$x^2 + x - 1=0$的两根，$a + b=-1$，$ab=-1$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}=\frac{-1}{-1}=1$。
19. 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？设梯子底端滑动x m，则下滑后梯子底端距墙______m，根据等量关系，可列方程为______.
答案：$6 + x$，$7^2 + (6 + x)^2=10^2$
解析：初始底端距墙$\sqrt{10^2 - 8^2}=6$m，下滑后顶端距地7m，底端距墙(6+x)m，方程为$7^2 + (6 + x)^2=10^2$。
20. 如图，将图（1）表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图（2）表示的矩形．若x=1，则y等于______.
答案：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析：正方形边长为(1 + y)，面积$(1 + y)^2$；矩形长(2 + y)，宽1，面积$2 + y$，方程$(1 + y)^2=2 + y$，解得$y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，正数解为$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
