【题目】如图,已知四边形和
均为平行四边形,点
在平面
内的射影恰好为点
,以
为直径的圆经过点
,
,
的中点为
,
的中点为
,且
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析: (Ⅰ)推导出平面
,从而平面
平面
,从而
,再求出
,从而
平面
,由此能证明平面
平面
.(Ⅱ)以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)∵点在平面
内的射影恰好为点
,∴
平面
,
又平面
,∴平面
平面
.
又以为直径的圆经过点
,
,
,∴
为正方形.
又平面平面
,∴
平面
.
∵平面
,
,
又,∴
,
又的中点为
,∴
,
∵,∴
,
又平面
,
平面
,
,∴
平面
.
又平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)如图,建立以为原点,
的方向为
轴的正方向,
的方向为
轴的正方向,
的方向为
轴的正方向的空间直角坐标系,
设,则
,
,
,
.
∵的中点为
,∴
,
故,
,
设平面的法向量为
,则
∴
令,则
.
易知平面的一个法向量为
,
设二面角为
,
∴,
容易看出二面角为锐角,故二面角
的余弦值为
.
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【题目】已知椭圆C:的离心率
,椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点A作直线
与椭圆相交于点B,则
轴上是否存在点P,使得线段
,且
?若存在,求出点P坐标;否则请说明理由.
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【题目】一所学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制,按男、女生比例采用分层抽样的方法,从某班选出10人参加活动.在活动前对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图.
(1)根据这10名同学的测试成绩,估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;
(2)若成绩大于等于75分为优良,从这10名同学中随机选取2名男生,2名女生,求这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆
的直角坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数),射线
的极坐标方程为
.
(1)求圆和直线
的极坐标方程;
(2)已知射线与圆
的交点为
,与直线
的交点为
,求线段
的长.
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【题目】棋盘上标有第0、1、2...100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为,设
.则下列结论正确的有( )
①;
;
②数列(
)是公比为
的等比数列;
③;
④.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知函数,
,
是实数.
(Ⅰ)若在
处取得极值,求
的值;
(Ⅱ)若在区间
为增函数,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数有三个零点,求
的取值范围.
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