Question

15．若函数f（x）=x²+2（a-1）x+2在区间[-1，2]上单调，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由已知中函数的解析式f（x）=x²+2（a-1）x+2，根据二次函数的图象和性质，判断出函数f（x）在区间（-∞，-a+1]上是减函数，在区间[-a+1，+∞）上是增函数，再由函数在区间[-1，2]上为单调函数，可得区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x²+2（a-1）x+2的图象是开口方向朝上，且以x=-a-1为对称轴的抛物线，
∴函数f（x）=x²+2（a-1）x+2在区间（-∞，-a+1]上是减函数，在区间[-a+1，+∞）上是增函数，
∵函数f（x）=x²+2（a-1）x+2在区间[-1，2]上是单调函数，
∴-a+1≤-1，或-a+1≥2，
解得a≥2或a≤-1．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据函数f（x）在区间[-1，2]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式是解答本题的关键，属于中档题．