Question

6．设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的公比为q．已知b₁=a₁，b₂=2，q=d，且d＞1，S₁₀=100．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求得公差和首项即可；
（2）T_n=1+$\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，①$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．②利用错位相减法①-②可得T_n$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$

解答 （1）由题意有，$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d=100}\\{{a}_{1}d=2}\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{{a}_{1}d=2}\end{array}\right.$，解得d=2或d=$\frac{2}{9}$（舍去），得a₁=1，
故    $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=2n-1}\\{{b}_{n}={2}^{n-1}}\end{array}\right…（n∈{N}^{+}）$                                                 …（5分）
（2）由d＞1，知a_n=2n-1，b_n=2^n-1，故${c}_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，…（6分）
于是T_n=1+$\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．②
①-②可得，$\frac{1}{2}{T}_{n}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n}}\\;\\;\\;\$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$
故T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$． …（10分）

点评 本题考查了等差数列的通项，及错位相减法求和，属于基础题．