Question

已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}对n∈N*，均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1 bn＝3n－1

（2）32014

【解析】【解析】
(1)∵a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，

∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．

则an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.

又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，

∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝3.

∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2＝3n－1.

(2)由＋＋…＋＝an＋1得

当n≥2时，＋＋…＋＝an，

两式相减，得＝an＋1－an＝2，

∴cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)．

而当n＝1时，＝a2，∴c1＝3.

∴cn＝

∴c1＋c2＋c3＋…＋c2014

＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32013

＝3＋

＝3－3＋32014

＝32014.