Question

双曲函数是一类在物理学上是有十分广泛应用的函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质，下面给出双曲函数的定义：双曲正弦函数shx=

ex-e-x

2

，双曲余弦函数：chx=

ex+e-x

2

，则函数y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由新定义把函数y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²化简，然后令t=e^x+e^-x换元，再利用二次函数的单调性求得函数值域．

解答： 解：由shx=

ex-e-x

2

，chx=

ex+e-x

2

，得
y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²=

e2x+e-2x

2

-

ex+e-x

2

+(

ex-e-x

2

)2-(

ex+e-x

2

)2
=

e2x+e-2x

2

-

ex+e-x

2

+

e2x+e-2x-2-e2x-e-2x-2

4

=

e2x+e-2x-(ex+e-x)

2

-1
=

(ex+e-x)2-(ex+e-x)

2

-2
=

1

2

(t2-t-4)（t=e^x+e^-x≥2），
∵y=

1

2

(t2-t-4)在[2，+∞）上为增函数，
∴其值域为[-1，+∞）．
∴函数y=ch（2x）-chx+（shx）²-（chx）²的值域是[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评：本题是新概念题，考查了函数值域的求法，考查了换元法，训练了利用函数单调性求函数值域，是中档题．