Question

设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.

(1)求数列的通项公式；

(2)对于正整数)，求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；

(3)设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.

Answer 1

 解：(1)数列是各项均为正数的等比数列，，，

又，，，；

(2)(ⅰ)必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若，则，，，

.                         ②若，则，，左边为偶数，等式不成立，

③若，同理也不成立，

综合①②③，得，所以必要性成立.                         

(ⅱ)充分性：设，，

则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立.

综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立.

(3)因为，

即，(*)

当时，，(**)

则(**)式两边同乘以2，得，(***)

(*)－(***)，得，即，

又当时，，即，适合，，，

时，，即；

时，，此时单调递减，

又，，，，.