Question

如图，三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°.

(1)证明：AB⊥A₁C；

(2)若AB＝CB＝2，A₁C＝，求三棱柱ABC­A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

【解】(1)证明：

取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B.

因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°，

故△AA₁B为等边三角形，

所以OA₁⊥AB.

因为OC∩OA₁＝O，所以AB⊥平面OA₁C.

又A₁C⊂平面OA₁C，故AB⊥A₁C.

(2)由题设知△ABC与△AA₁B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA₁＝.

又A₁C＝，则A₁C²＝OC²＋OA，故OA₁⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA₁⊥平面ABC，OA₁为三棱柱ABC­A₁B₁C₁的高．

又△ABC的面积S_△ABC＝，故三棱柱ABC­A₁B₁C₁的体积V＝S_△ABC·OA₁＝3.