Question

y=f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算,其他不等式的解法

专题：导数的概念及应用

分析：先根据f′（x）=5+cosx，得到函数f（x）为增函数，再根据f（0）=0，求得f（x）=5x+sinx，再求得函数f（x）为奇函数，原不等式转化为1-x＜-1+x²，解得即可．

解答： 解：∵f′（x）=5+cosx，-1≤cosx≤1
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）为增函数．
∵y=f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，
∴f（x）=5x+sinx+c，
∵f（0）=0，
∴f（0）=0+0+c=0，
解得c=0，
∴f（x）=5x+sinx，
∵f（-x）=-5x-sinx=-（5x+sinx）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∵f（1-x）+f（1-x²）＜0，
∴f（1-x）＜-f（1-x²）=f（-1+x²），
∴1-x＜-1+x²，
解得x＞1，或x＜-2，
∴实数x的取值范围为（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了导数的运算法则，函数的单调性和奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题．