Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*，数列{a_n}满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）记bn=

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,二次函数的性质,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，由题设条件求出f（x）=

1

2

x2+2nx，x∈N^*，再由数列{a_n}满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，由叠加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx，
∴f′（x）=2ax+b，
∵二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），
且f′（0）=2n，n∈N^*，
∴

b=2n 16n2a-4nb=0

，
解得a=

1

2

，b=2n，
∴f（x）=

1

2

x2+2nx，x∈N^*，…（4分）
∵数列{a_n}满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，
f′（x）=x+2n，
∴

1

an+1

=

1

an

+2n，
∴

1

an+1

-

1

an

=2n，
由叠加法得：

1

an

-

1

4

=2+4+6+…+2（n-1）=n²-n，
解得an=

4

(2n-1)2

，n≥2，…（8分）
当n=1时，a₁=4符合，
∴an=

4

(2n-1)2

，n∈N^*．…（9分）
（Ⅱ）∵an=

4

(2n-1)2

，
∴bn=

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），…（11分）
∴Tn=b1+b2+…+bn=

a1a2

+

a2a3

+…+

a   n a   n+1

=2[ 
=2(1-

1

2n+1

)．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．