Question

已知函数f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b为常数）．

    （I）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx－5（k为常数），求b的值；

    （II）设函数f（x）的导函数为f’（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；

    （III）令F（x）=f（x）－g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 所以直线的，当时，，将（1，6）代入，得．   

 （Ⅱ）  ，由题意知消去，

得有唯一解．

令，则，   

所以在区间上是增函数，在上是减函数，

又，故实数的取值范围是． 

（Ⅲ）

因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根．   

记方程的两根为由韦达定理，所以方程的根必为两不等正根．    

 所以满足方程判别式大于零

故所求取值范围为