Question

18．已知函数f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；
（2）求f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据周期公式求出ω，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；即可得x∈（0，π）的单调递增区间；
（2）x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=4cosωxsin（ωx-$\frac{π}{6}$）
化简可得：f（x）=4cosωxsinωxcos$\frac{π}{6}$-4cos²ωxsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$sin2ωx-2cos²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-1=2sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）-1
∵函数f（x）的最小正周期是π，即$π=\frac{2π}{2ω}$，
∴ω=1，
那么f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{6}$）-1．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∵x∈（0，π）
∴函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间为（0，$\frac{π}{3}$）和（$\frac{5π}{6}，π$）．
（2）x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上时，
2x$-\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
当2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）的最大值为2sin$\frac{π}{2}-1=1$；
当2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）的最小值为2sin$\frac{7π}{6}-1$=-2；
∴f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的最大值为1，最小值为-2．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．