Question

8．已知向量$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow b=（cosx，sinx）$，函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-1$．
（1）若f（x）=0，求x的集合；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的单调区间及最值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算和两角和的正弦公式化简f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）-1$，再代值计算即可，
（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出单调区间和最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow b=（cosx，sinx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-1=cosx+\sqrt{3}sinx-1$=$2sin（x+\frac{π}{6}）-1$
令f（x）=0，则$x+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}+2kπ$或$x+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}+2kπ$，k∈Z，
∴x=2kπ或$x=\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z
∴{x|x=2kπ或$x=\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z}．
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，由$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3}{2}$π+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{2}{3}$π+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{4}{3}$π+2kπ，k∈Z
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]
即-$\frac{2}{3}$π+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
∴$sin（x+\frac{π}{6}）∈[\frac{1}{2}，1]$，
∴f（x）∈[0，1]．
∴f（x）的最大值为1，最小值为0

点评 本题考查了向量的数量积，以及三角函数的恒等变化以及正弦函数的图象和性质，属于中档题