Question

20．已知f（x）=xlnx，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并求出其极小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，e]，使f（x₀）≤a，求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性得到函数的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，e]递增；
故f（x）_极小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：x∈（0，e]时，f（x）_min=-$\frac{1}{e}$，
故a≥-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．