Question

5．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值为（　　）

• A． -4033
• B． 4033
• C． 8066
• D． -8066

Answer 1

分析 求出f（x）的对称中心，根据函数的对称性计算．

解答 解：f（1）=1-3=-2，
当x₁+x₂=2时，f（x₁）+f（x₂）=x₁+x₂+sinπx₁+sinπx₂-6=sinπx₁+sin（2π-πx₁）-4=sinπx₁-sinπx₁-4=-4，
∴f（x）的对称中心为（1，-2），
∵$\frac{1}{2017}$+$\frac{4033}{2017}$=$\frac{2}{2017}+\frac{4032}{2017}$=…=$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$=2，
∴$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$=2016×（-4）+（-2）=-8066．
故选D．

点评 本题考查了函数对称性的应用，属于中档题．