Question

3．已知$\overrightarrow a$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（sinωx+2cosωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$且该函数的最小正周期为$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，利用向量数量积的运算，可得f（x）的解析式，该函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{4}$．可得ω的值．
（2）根据三角函数的性质可得函数f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值的x的集合．

解答 解：（1）由题意，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
即f（x）=sinωx•（sinωx+2cosωx）+cos²ωx=sin2ωx+1．
∵函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{4}$．即$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{4}$
∴ω=4．
∴f（x）=sin8x+1．
（2）∵y=sin8x的最大值为1，此时8x=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：x=$\frac{π}{16}+\frac{kπ}{4}$，k∈Z．
∴函数f（x）的最大值为：1+1=2．
f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=$\frac{π}{16}+\frac{kπ}{4}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了向量的数量积的运算，对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．