Question

【题目】如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）当直线与平面所成的角为30°时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）作，余弦定理得，在同一平面内用“数据说话”，证用线面垂直的性质可证平面平面；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，使用空间向量求二面角的平面角即可.

（1）过点作，垂足为，连结，.

在中，由，得，.

在中，由余弦定理得，

即，又，所以，即.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，为直线与底面所成角，则，所以.

以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，

由于，所以.

设平面的法向量为，则，即，解得，

令得.

显然平面的一个法向量为，

所以，

即平面与平面所成二面角的余弦值为.