Question

5．已知函数f（x）=x²+2x-a，若方程f（f（x））=0有两个不等的实数解，则a的取值范围是$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 分函数f（x）=0无解，有一解，有两解三种情况，分别讨论满足方程f（f（x））=0有两个不等的实数解时，a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：①若函数f（x）=x²+2x-a=0无解，
则方程f（f（x））=0也无解；
②若函数f（x）=x²+2x-a=0有两个相等的实数解，
则△=4+4a=0，
解得：a=-1，
f（x）=x²+2x+1≥0恒成立，
∵f（f（x））=0，
∴f（x）=-1，方程无解；
③若函数f（x）=x²+2x-a=0有两个不等的实数解，
则△=4+4a＞0，
解得：a＞-1，
f（x）=x²+2x-a≥-a-1恒成立，
此时f（x）=0有两根分别为：$-1+\sqrt{a+1}$，$-1-\sqrt{a+1}$
若方程f（f（x））=0有两个不等的实数解，
则$-1-\sqrt{a+1}$＜-a-1，且$-1+\sqrt{a+1}$＞-a-1，
解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根的个数与函数零点的关系，分类讨论思想，难度中档．