Question

若△ABC 的三边长分别为a，b，c，面积为s．则△ABC的内切圆半径 r=

2s

a+b+c

；类似的，若四面体ABCD的四个面的面积分别为s₁，s₂，s₃，s₄，体积为V，则四面体ABCD的内切球半径r为（　　）

• A、

  3v

  s1s2s3s4

• B、

  3v

  s1+s2+s3+s4

• C、

  2v

  s1+s2+s3+s4

• D、

  2v

  s1s2s3s4

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答： 解：由线段长度类比面积，面积类比到体积，即一维类比到二维，二维到三维，
若△ABC 的三边长分别为a，b，c，面积为s．则△ABC的内切圆半径 r=

2s

a+b+c

；类似的，若四面体ABCD的四个面的面积分别为s₁，s₂，s₃，s₄，体积为V，则四面体ABCD的内切球半径r为

3v

s1+s2+s3+s4

．
证明如下：
设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为 V_{四面体A-BCD}=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
∴r=

3v

s1+s2+s3+s4

故选：B．

点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．