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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数,F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)
(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单调区间;
(Ⅱ)求函数F(x)在上的值域;
(Ⅲ)若f(x)=2f′(x),求的值.

(Ⅰ)T=π.单调递增区间:单调递减区间:
(Ⅱ)[1,1+];(Ⅲ).

解析试题分析:(I)将函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)化一可得:F(x)=1+sin(2x+),由此可得F(x)的最小正周期及单调区间.(Ⅱ) 由这样可得sin(2x+)的范围,从而得函数F(x)的值域.
(Ⅲ)由f(x)=2f′(x),得:sinx+cosx=2cosx-2sinx,由此可得tanx的值.
化为只含tanx式子,将tanx.的值代入即可.
试题解析:(I)∵f′(x)=cosx-sinx,
∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+),
最小正周期为T==π.
单调递增区间:单调递减区间: .      4分
(Ⅱ)由
所以,所以函数F(x)的值域为[1,1+].             8分
(Ⅲ)∵f(x)=2f′(x), ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx,
∴cosx=3sinx, ∴tanx=
.                13分
考点:1、三角变换;2、三角函数的单调性和范围;3、三角函数同角关系式.

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