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已知为正实数,为自然数,抛物线轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
(1)用表示
(2)求对所有都有成立的的最小值;
(3)当时,比较的大小,并说明理由。
(1)
(2)a的最小值是
(3),证明见解析.
(1)由已知得,交点A的坐标为,对则抛物线在点A处的切线方程为
由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥
,


>2n3+1
当n=0,1,2时,显然
故当a=时,对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是
(3)由(1)知,则

下面证明: 
首先证明:当0<x<1时,
设函数


故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g
所以,当0<x<1时,g(x)≥0,即得
由0<a<1知0<ak<1(),因此,从而


[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(13分)已知是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数为常数)在处取得极值,
(1)求函数的解析式;
(2)当时,的图像恒在直线的下方,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图所示,是定义在区间)上的奇函数,令,并有关于函数的四个论断:

①若,对于内的任意实数),恒成立;
②函数是奇函数的充要条件是
③若,则方程必有3个实数根;
的导函数有两个零点;
其中所有正确结论的序号是(    ).
A.①②B.①②③
C.①④D.②③④

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;
(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知定义在R 上的可导函数满足:当时,;当时,.则下列结论:①其中成立的个数是(  )
A.1   B.2 C.3  D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数的大致图像是(   )   

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若对于都有成立,试求的取值范围;
(Ⅲ)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知函数在区间上存在单调递增区间,则的取值范围是          

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