Question

14．2016届高三某次联考之后，某中学的数学教师对A班和B班共n名学生的数学成绩进行了统计（满分150分），得到如下各分数段内的男生人数统计表和各个分数段人数的频率分布直方图．

组数	分组	男生	占本组的频率
第一组	[80，90）	12	0.6
第二组	[90，100）	10	p
第三组	[100，110）	10	0.5
第四组	[110，120）	a	0.4
第五组	[120，130）	3	0.3
第六组	[130，140]	6	0.6

（1）求n，a，p的值和频率分布直方图中第二组矩形的高；
（2）分数在[130，140]的男生中，A班有4人，从这6个男生中任选2人进行学习经验交流，求取到2人中至少一名是B班男生的概率；
（3）若110分（含110分）以上为优秀．
（i）完成下面的2×2列联表，并求出男生和女生的优秀率；

成绩 性别	优秀	不优秀	总计
男生
女生
总计

（ii）根据上面表格的数据，判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”？
附表及公式：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）利用频率、频数、样本容量的关系，即可得出结论；
（2）求出基本事件的个数，即可求取到2人中至少一名是B班男生的概率；
（3）（i）根据条件完成下面的2×2列联表，并求出男生和女生的优秀率；
（ii）根据上面表格的数据，求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（1）第一组的人数为$\frac{12}{0.6}$=20，概率为0.020×10=0.2，所以n=$\frac{20}{0.2}$=100．
由题可知，第二组的频率为1-0.2-0.2-0.15-0.1-0.1=0.25，
所以第二组矩形的高为$\frac{0.25}{10}$=0.025，可知第二组的人数为100×0.25=25，
所以p=$\frac{10}{25}$=0.4，
第四组的频率为0.015×10=0.15，第四组的人数为100×0.15=15，
所以a=15×0.4=6；
（2）分数在[130，140]的男生共6人，A班有4人，从这6个男生中任选2人进行学习经验交流，有C₆²=15种情况，取到2人中至少一名是B班男生，有15-C₄²=9种情况，
∴取到2人中至少一名是B班男生的概率是$\frac{9}{15}$=0.6；
（3）（i）完成下面的2×2列联表，

成绩 性别	优秀	不优秀	总计
男生	15	32	47
女生	20	33	53
总计	35	65	100

男生的优秀率0.15，女生的优秀率0.2；
（ii）根据上面表格的数据，K²=$\frac{100×（15×33-20×32）^{2}}{35×65×47×53}$≈0.371＜2.706，
∴没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．