Question

若

a

=（sin²x，cos²x），

b

=（sin²x，-cos²x），f（x）=

a

•

b

+4cos²x+2

3

sinxcosx．如果?m∈R，对?x∈R都有f（x）≥f（m），则f（m）等于（　　）

• A、2+2

  3

• B、3
• C、0
• D、2-2

  3

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标表示已经二倍角公式和两角和的正弦公式，化简计算可得f（x），求得f（x）的最小值，由题意令f（m）不大于最小值，再由f（m）不小于最小值，即可得到f（m）．

解答： 解：若

a

=（sin²x，cos²x），

b

=（sin²x，-cos²x），
则f（x）=

a

•

b

+4cos²x+2

3

sinxcosx=sin⁴x-cos⁴x+4cos²x+2

3

sinxcosx
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2（1+cos2x）+

3

sin2x
=-cos2x+2cos2x+

3

sin2x+2=2+2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=2sin（2x+

π

6

）+2，
由x∈R，则sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
即有f（x）∈[0，4]，
则f（x）的最小值为0，
?m∈R，对?x∈R都有f（x）≥f（m），
则f（m）≤0，又f（m）≥0，
则有f（m）=0．
故选：C．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式的运用，同时考查正弦函数的值域，运用不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是解题的关键．