Question

在数列{a_n}中，a₁=1，对任意n∈N^*，都有

a

n+1

=

a   n

2 a   n +1

，

b

n

=

1

a   n

．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等差数列，并求出a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n•a_n+1}的前n项和为T_n，求证：

T

n

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=

2an+1

an

-

1

an

=2，由此能证明数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，从而求出a_n=

1

2n-1

．
（Ⅱ）由a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能证明

T

n

＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=1，
对任意n∈N^*，都有

a

n+1

=

a   n

2 a   n +1

，

b

n

=

1

a   n

．
b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=

2an+1

an

-

1

an

=2，
又b1=

1

a1

=1，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=2n-1，
∴

1

an

=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

．
（Ⅱ）解：∵a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

，
∴

T

n

＜

1

2

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．