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已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f′(x).
①f(x)的单调减区间是(
2
3
,2)

②f(x)的极小值是-15;
③当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f′(a)(x-a)
④函数f(x)满足f(
2
3
-x)+f(
2
3
+x)=0

其中假命题的个数为(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
∵f(x)=x3-2x2-4x-7,
∴f′(x)=3x2-4x-4,
令f′(x)=3x2-4x-4=0,得x1=-
2
3
,x2=2.
列表讨论
x(-∞,-
2
3
-
2
3
(-
2
3
,2)
2(2,+∞)
f′(x)-0-0+
f(x)极小值
∴减区间为(-∞,2],增区间为[2,+∞),
当x=2时,函数有极小值f(2)=8-2×4-4×2-7=-15,
故①错误,②正确;
∵a>2,x>2且x≠a,
∴f(x)-f(a)-f′(a)(x-a)
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-(3a2-4a-4)(x-a)
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax>0,
∴恒有f(x)>f(a)+f′(a)(x-a),
故③正确;
∵f(x)=x3-2x2-4x-7,
∴函数f(x)不满足f(
2
3
-x)+f(
2
3
+x)=0

故④不正确,
故选C.
练习册系列答案
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lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=______.(用数字作答)

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已知曲线y=
1
3
x3+
1
2
x2+4x-7在点Q处的切线的倾斜角α满足sin2α=
16
17
,则此切线的方程为(  )
A.4x-y+7=0或4x-y-6
5
6
=0
B.4x-y-6
5
6
=0
C.4x-y-7=0或4x-y-6
5
6
=0
D.4x-y-7=0

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=xe-x(x∈R)
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(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);
(Ⅲ)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2.

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