Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，y，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，z），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$；
（2）求向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据空间向量的坐标表示与$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，列出方程组求出x、y、z的值即可；
（2）根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（x，1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，y，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，z），
且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{1}=\frac{1}{y}=\frac{2}{-2}}\\{3+y-2z=0}\end{array}\right.$，
解得x=-1，y=-1，z=1；
∴向量$\overrightarrow{a}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，-1，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，1）；
（2）∵向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）=（2，2，3），（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=（4，0，-1），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=2×4+2×0+3×（-1）=5，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+0}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值为
cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|×|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{5}{\sqrt{17}×\sqrt{17}}$=$\frac{5}{17}$．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．