Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，1+tan²x），

b

=（

2

sinx（

x

2

+

x

4

），cos²x），f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）在（0，

π

2

]上的单调增区间；
（2）若f（α）=

5

2

，α∈（

π

2

，π），求f（-α）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）由（1）可得f（α）=

5

2

=sinα+cosα+2，利用平方关系可得：sin2α=-

3

4

．由于α∈（

π

2

，π），可得sinα-cosα＞0，因此sinα-cosα=

(sinα+cosα)2-sin2α

．即可得出f（-α）=-sinα+cosα+2．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos

x

2

•

2

sin(

x

2

+

π

4

)+（1+tan²x）cos²x
=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)+1
=sinx+cosx+2
=

2

sin(x+

π

4

)+2．
∴f（x）在（0，

π

2

]上的单调增区间为(0，

π

4

]；
（2）f（α）=

5

2

=sinα+cosα+2，化为sinα+cosα=

1

2

，
∴sin²α+cos²α+2sinαcosα=

1

4

，化为sin2α=-

3

4

．
．∵α∈（

π

2

，π），∴sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

(sinα+cosα)2-sin2α

=

1-(- 3 4 )

=

7

2

．
∴f（-α）=-sinα+cosα+2=2-

7

2

．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．