Question

已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为

2

，则该三棱锥的体积为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  4

  3

• C、

  2

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据三视图知几何体为三棱锥，侧面与底面垂直，其外接球即为分别以OA，OB，OC为长宽高的长方体的外接球，由此求出OC的值，代入棱锥的体积公式计算．

解答： 解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱CO与底面OAB垂直，其直观图如图：

∵其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，
∴OA=OB=

2

，
其外接球即为分别以OA，OB，OC为长宽高的长方体的外接球，
设OC=x，
∵三棱锥的外接球的半径为

2

，
∴2

2

=

OA2+OB2+OC2

=

2+2+x2

，
解得：OC=2，
∴棱锥的体积V=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2=

2

3

．
故选C．

点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图画出几何体的直观图，求相关几何量的数据是关键．