Question

8．已知函数 f（x）=x+$\frac{2b}{x}$+a，x∈[a，+∞），其中a＞0，b∈R，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（　　）

• A． b＞$\frac{1}{3}$
• B． b＜$\frac{1}{3}$
• C． b＞$\frac{1}{2}$
• D． b＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．

解答 解：函数 f（x）=x+$\frac{2b}{x}$+a，x∈[a，+∞），
导数f′（x）=1-$\frac{2b}{{x}^{2}}$，
当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，
且为2a+$\frac{2b}{a}$，由题意可得2a+$\frac{2b}{a}$=2，a＞0，b≤0方程有解；
当b＞0时，由f′（x）=1-$\frac{2b}{{x}^{2}}$=0，可得x=$\sqrt{2b}$（负的舍去），
当a≥$\sqrt{2b}$时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，
且有2a+$\frac{2b}{a}$=2，a＞0，b＞0，方程有解；
当a＜$\sqrt{2b}$时，f（x）在[a，$\sqrt{2b}$）递减，在（$\sqrt{2b}$，+∞）递增，
可得f（$\sqrt{2b}$）为最小值，且有a+2$\sqrt{2b}$=2，即a=2-2$\sqrt{2b}$＞0，解得0＜b＜$\frac{1}{2}$．
综上可得b的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故选：D．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，有解运算能力，属于中档题．