Question

已知函数.
（1）当 时，求在处的切线方程；
（2）设函数，
（ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）（i）；（ii）.

试题分析：（1）将代入函数解析式，求出，由此计算与的值，最后利用点斜式写出相应的切线方程；（2）利用参数分离法将问题转化为直线与函数的图象有且仅有一个交点来处理，然后利用导数来研究函数的单调性与极值，从而求出的值；（ii）将问题转化为，然后利用导数研究在区间上最值，从而确定实数的取值范围.
（1）当时，，定义域，
，
，又，
在处的切线方程；
（2）（ⅰ）令，
则，
即，
令，
则，
令，
，
，在上是减函数，
又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以当函数有且仅有一个零点时；
（ⅱ）当，，
若，，只需证明，
，
令，得或，
又，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又，，
，
即，，.