Question

已知点M是圆心为C₁的圆（x-1）²+y²=8上的动点，点C₂（1，0），若线段MC₂的中垂线交MC₁于点N．
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+t是圆x²+y²=1的切线且l与N 点轨迹交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，若

OP

•

OQ

=μ且

2

3

≤u≤

4

5

，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义，可得动点N的轨迹是以C₁，C₂为焦点，以2

2

为长轴长的椭圆，即可求出动点N的轨迹方程；
（2）利用韦达定理确定|PQ|的范围，即可求出△OPQ面积的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得|MN|=|NC₂|，则|NC₁|+|NC₂|=|NC₁|+|MN|=2

2

＞|C₁C₂|=2，
故动点N的轨迹是以C₁，C₂为焦点，以2

2

为长轴长的椭圆，a=

2

，c=1，b²=1，
动点N的轨迹方程为

x2

2

+y²=1；

（2）∵直线l：y=kx+t是圆x²+y²=1的切线，
∴

|t|

1+k2

=1，
∴t²=k²+1，
直线l：y=kx+t代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则△=8k²＞0可得k≠0．
∴x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=

t2-2k2

1+2k2

，
∵t²=k²+1，
∴x₁x₂=

2k2

1+2k2

，y₁y₂=

1-k2

1+2k2

，
∴

OP

•

OQ

=μ=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

，
∵

2

3

≤μ≤

4

5

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

4

5

，
∴

1

3

≤k²≤1，
∵|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

令λ=k⁴+k²，
∵

1

3

≤k²≤1
∴λ∈[

4

9

，2]．
|PQ|=2•

2λ 4λ+1

=2•

1 2 - 1 2(4λ+1)

在[

4

9

，2]上单调递增，
∴

4 2

5

≤|PQ|≤

4

3

，
∵直线PQ是圆x²+y²=1的切线，
∴O到PQ的距离为1，
∴S_△OPQ=

1

2

|PQ|，即

2 5

5

≤

1

2

|PQ|≤

2

3

]．
故△OPQ面积的取值范围是[

2 5

5

，

2

3

]．

点评：本题考查椭圆的定义域方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．