Question

9．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为$\frac{1}{2}$，甲胜丙、乙胜丙的概率都为$\frac{2}{3}$，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第3局甲当裁判的概率；
（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．

Answer 1

分析 （1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为$\frac{1}{3}$，也可能是丙当裁判，其概率为$\frac{2}{3}$，由此能求出第3局甲当裁判的概率．
（2）由题意X可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布与数学期望．

解答 解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为$\frac{1}{3}$，
也可能是丙当裁判，其概率为$\frac{2}{3}$，
∴第3局甲当裁判的概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．…（4分）
（2）由题意X可能的取值为0，1，2．…（5分）
P（X=0）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，…（6分）
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{17}{27}$，…（7分）
P（X=2）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$．…（8分）
∴X的概率分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{27}$	$\frac{4}{27}$

∴X的数学期望E（X）=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{17}{27}+2×\frac{4}{27}$=$\frac{25}{27}$．…（10分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．