Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，若数列{

1

an•an+1

}的前n项和为S_n，则S₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等差数列的通项公式可得a_n=2n-1．因此

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，a₅=9，
∴9=1+4d，
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n-1．
∴

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴数列{

1

an•an+1

}的前n项和为S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∴S10=

10

21

．
故答案为：

10

21

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．