Question

11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）满足：
①f（-$\frac{2π}{3}$）=f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$）；
②在区间[-$\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}$]内有最大值无最小值；
③在区间[$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]内有最小值无最大值；
④经过M（$\frac{π}{6}，-\sqrt{3}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，求sin（$\frac{π}{6}$-2x）值．
（3）不等式f²（x）+f（x）≥2m+1的解集不为空集，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）由条件①②③得出f（x）的最小正周期和最小值，从而求出ω、φ和A的值，即得f（x）的解析式；
（2）根据题意，利用三角恒等变换，即可求出sin（$\frac{π}{6}$-2x）的值；
（3）利用换元法，把不等式化为2m+1≤t²+t有解，求出t²+t的最大值即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）由条件①②③可知，$x=-\frac{π}{4}$和$x=\frac{π}{4}$为相邻对称轴，
且f（x）在$x=-\frac{π}{4}$处取得最大值，在$x=\frac{π}{4}$处取得最小值，
所以$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，解得ω=2；
由f（x）在$x=-\frac{π}{4}$处取得最大值得φ=0，且A＜0；
经过点$M（\frac{π}{6}，-\sqrt{3}）$，所以$Asin（2×\frac{π}{6}）=-\sqrt{3}$，解得A=-2；
所以f（x）=-2sin（2x）；--------（6分）  （A，ω，φ各2分）
（2）因为$f（x+\frac{π}{6}）=-2sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{6}{5}$，
所以$sin（2x+\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$；
$sin（\frac{π}{6}-2x）=sin（\frac{π}{2}-（2x+\frac{π}{3}））=cos（2x+\frac{π}{3}）=±\sqrt{1-{{sin}^2}（2x+\frac{π}{3}）}=±\frac{4}{5}$；--------（9分）
（3）2m+1≤t²+t（其中t=-2sin2x∈[-2，2]），
t²+t=${（t+\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$$∈[-\frac{1}{4}，6]$，
所以2m+1≤6，解得：$m≤\frac{5}{2}$．--------（12分）

点评 本题考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与函数与不等式的应用问题，是综合性题目．