Question

13．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为$\frac{3π}{8}$．

Answer 1

分析 设等腰△ABC中A=B，由已知得sinA₁=sinB₁，cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，则A₁=B₁，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．

解答 解：设A=B，由已知得sinA₁=sinB₁，cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，则A₁=B₁，
所以A+A₁=$\frac{π}{2}$，B+B₁=$\frac{π}{2}$，C+C₁=$\frac{π}{2}$（舍）或A+A₁=$\frac{π}{2}$，B+B₁=$\frac{π}{2}$，C=C₁-$\frac{π}{2}$，
解得C=$\frac{π}{4}$，A=B=$\frac{π-\frac{π}{4}}{2}$=$\frac{3π}{8}$．
故答案是：$\frac{3π}{8}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．