Question

18．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（α-$\frac{π}{12}$），且f（α）=f（β），角α，β的终边不共线，求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解即可．
（2）由题意可得tan2α的值，2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2sin（2β+$\frac{π}{6}$），由此求得 α+β 的值，利用角的变换可得 tan（α-β ）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
（2）f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（α-$\frac{π}{12}$），2sin（2α+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2α），
即2cos2α=$\sqrt{3}$sin2α，tan2α=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2sin（2β+$\frac{π}{6}$），
∴2α+$\frac{π}{6}$+2β+$\frac{π}{6}$=2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+$\frac{π}{3}$，
故 tan（α+β ）=$\sqrt{3}$．
 tan（α-β ）=tan[2α-（α+β ）]
=$\frac{tan2α-tan（α+β）}{1+tan2αtan（α+β）}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}}{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查利用三角恒等变换进行化简求值，复合三角函数的单调性与对称性，属于中档题．