Question

设x∈[2，8]时，函数f（x）=

1

2

log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-

1

8

，求a的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题设条件，推导出f（x）=

1

2

（log_ax+

3

2

）²-

1

8

．设t=log_ax，则f（x）=

1

2

（t+

3

2

）²-

1

8

，利用二次函数的性质能求出结果．

解答： 解：f（x）=

1

2

log_a（ax）•log_a（a²x）
=

1

2

（1+log_ax）•（2+log_ax）
=

1

2

(logax)2+

3

2

logax+1
=

1

2

（log_ax+

3

2

）²-

1

8

．
设t=log_ax，则f（x）=

1

2

（t+

3

2

）²-

1

8

，
∵x∈[2，8]，函数f（x）的最大值是1，最小值是-

1

8

，
∴log_a8≤log_ax≤log_a2＜0，0＜a＜1，log_a8≤t≤log_a2，
∴当x=8时，f（x）取最大值f（8）=

1

2

（log_a8+

3

2

）²-

1

8

=1，
解得log_a8=-3或log_a8=0（舍），
∴a=

1

2

．

点评：本题考查对数的运算性质的应用，是中档题，解题时要注意二次函数的性质的合理运用．