Question

已知函数f（x）=

1+ax

x+2

 在（-2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解法一：由题意可得，当x＞-2时，f′（x）=

2a-1

(x+2)2

＞0，由此解得a的范围．
解法二：由函数f（x）=a+

1-2a

x+2

 在（-2，+∞）上单调递增，可得 1-2a＜0，由此求得a的范围．

解答： 解：解法一：∵函数f（x）=

1+ax

x+2

 在（-2，+∞）上单调递增，
∴当x＞-2时，f′（x）=

a(x+2)-(1+ax)×1

(x+2)2

=

2a-1

(x+2)2

＞0，解得 a＞

1

2

，
实数a的取值范围为（

1

2

，+∞）．
解法二：∵函数f（x）=

1+ax

x+2

=

a(x+2)+1-2a

x+2

=a+

1-2a

x+2

 在（-2，+∞）上单调递增，
∴1-2a＜0，即 a＞

1

2

，
实数a的取值范围为（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，属于中档题．