Question

已知α，β∈（

3π

4

，π），sin（α+β）=-

3

5

，sin（β-

π

4

）=

12

13

，求tan（α-

π

4

）．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：依题意，可求得cos（α+β）=

4

5

，cos（β-

π

4

）=-

5

13

，利用两角差的正弦可求得sin（α-

π

4

）与cos（α-

π

4

）的值，从而可得tan（α-

π

4

）的值．

解答： 解：∵α，β∈（

3π

4

，π），
∴α+β∈（

3π

2

，2π），
又sin（α+β）=-

3

5

，
∴cos（α+β）=

1-sin2(α+β)

=

4

5

；
又sin（β-

π

4

）=

12

13

，β-

π

4

∈（

π

2

，

3π

4

），
∴cos（β-

π

4

）=-

1-sin2(β- π 4 )

=-

5

13

，
∴sin（α-

π

4

）=sin[（α+β）-（β-

π

4

）]
=sin（α+β）cos（β-

π

4

）-cos（α+β）sin（β-

π

4

）
=-

3

5

•（-

5

13

）-

4

5

•

12

13

=-

33

65

；
cos（α-

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]
=cos（α+β）cos（β-

π

4

）+sin（α+β）sin（β-

π

4

）
=

4

5

×（-

5

13

）+（-

3

5

）×

12

13

=-

56

65

；
∴tan（α-

π

4

）=

sin(α- π 4 )

cos(α- π 4 )

=

- 33 65

- 56 65

=

33

56

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，着重考查两角差的余弦，突出考查同角三角函数间的关系，考查化归思想与综合运算能力，属于中档题．