Question

计算：﹙-

1

2

+

3

2

i﹚ⁿ+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚²ⁿ﹙n∈Z﹚．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：直接利用-1的立方虚根的性质化简，即可得到结果．

解答： 解：∵（-

1

2

+

3

2

i）²=-

1

2

-

3

2

i．
（-

1

2

+

3

2

i）³=（-

1

2

+

3

2

i）（-

1

2

-

3

2

i）=1
当n=3k+1，k∈Z时，﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^3k+1+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^6k+2
=﹙-

1

2

+

3

2

i﹚¹+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚²
=-

1

2

+

3

2

i-

1

2

-

3

2

i
=-1，
当n=3k+2，k∈Z时，﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^3k+2+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^6k+4=﹙-

1

2

+

3

2

i﹚²+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚
=-

1

2

-

3

2

i+-

1

2

+

3

2

i=-1，
当n=3k，k∈Z时，﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^3k+﹙-

1

2

+

3

2

i﹚^6k
=-1+1=0，
综上，当n=3k+1，3k+2，k∈Z时原式=-1，
当n=3k，k∈Z时，原式=0，

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，乘方运算，考查计算能力．