Question

7．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 画出图形，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，表示出三棱柱的体积为$V=\frac{{3\sqrt{3}}}{16}（-{h^3}+4h）$，0＜h＜2．利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高．

解答 解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'O=B'O=C'O=1，$OE'=\frac{h}{2}$，$A'E'=\sqrt{1-\frac{h^2}{4}}$，$A'B'=\sqrt{3-\frac{{3{h^2}}}{4}}$，
此时三棱柱的体积为$V=\frac{{3\sqrt{3}}}{16}（-{h^3}+4h）$，其中0＜h＜2．

令y=-h³+4h（0＜h＜2），则y′=-3h²+4，令y′=0，
则$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，当$0＜h＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，y′＞0，函数y增，
当$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜h＜2$时，y′＜0，函数y减．
故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，导数的应用，考查转化思想以及计算能力空间想象能力．