Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（$\sqrt{3}$c-2b）cos（π-A）=$\sqrt{3}$acosC，
（1）求角A的值；
（2）若角B=$\frac{π}{6}$，BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将边化角，使用和角公式化简即可得出cosA；
（2）使用余弦定理解出等腰三角形的腰长，代入面积公式计算．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（$\sqrt{3}$c-2b）cos（π-A）=$\sqrt{3}$acosC，
∴（2sinB-$\sqrt{3}$sinC）cosA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
即2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$sinCcosA=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB．
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵A=B=$\frac{π}{6}$，∴AC=BC，C=$\frac{2π}{3}$．设CM=x，则AC=2x，
在△ACM中，由余弦定理得AM²=AC²+CM²-2AC•CMcosC，
即7=4x²+x²+2x²，解得x=1，∴AC=BC=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BCsinC$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．