Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点横坐标，列出方程解出p．
（II）根据|FA|=|FD|列出方程得出A，D横坐标的关系，从而得出l的斜率，设l₁方程，与抛物线方程联立，由判别式△=0得出l的截距与A点坐标的关系，求出E点坐标，得出AE方程，根据方程特点判断定点坐标．

解答 解：（I）抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），设D（t，0），则FD的中点为（$\frac{p+2t}{4}$，0）．
∵|FA|=|FD|，∴3+$\frac{p}{2}$=|t-$\frac{p}{2}$|，解得t=3+p或t=-3（舍）．
∵$\frac{p+2t}{4}=3$，∴$\frac{3p+6}{4}=3$，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（II）由（I）知F（1，0），设A（x₀，y₀），D（x_D，0），
∵|FA|=|FD|，则|x_D-1|=x₀+1，由x_D＞0得x_D=x₀+2，即D（x₀+2，0）．
∴直线l的斜率为k_AD=-$\frac{{y}_{0}}{2}$．∵l₁∥l，故直线l₁的斜率为-$\frac{{y}_{0}}{2}$．
设直线l₁的方程为y=-$\frac{{y}_{0}}{2}$x+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=-\frac{{y}_{0}}{2}x+b}\end{array}\right.$，消元得：y²+$\frac{8}{{y}_{0}}$y-$\frac{8b}{{y}_{0}}$=0，
∵直线l₁与抛物线相切，
∴△=$\frac{64}{{{y}_{0}}^{2}}+\frac{32b}{{y}_{0}}=0$，∴b=-$\frac{2}{{y}_{0}}$．
设E（x_E，y_E），则y_E=-$\frac{4}{{y}_{0}}$，x_E=$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$，
当y₀²≠4时，k_AE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{4{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4}$，直线AE的方程为y-y₀=$\frac{4{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4}$（x-x₀），
∵y₀²=4x₀，∴直线AE方程为y=$\frac{4{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-4}（x-1）$．∴直线AE经过点（1，0）．
当y₀²=4时，直线AE方程为x=1，经过点（1，0）．
综上，直线AE过定点F（1，0）．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．