Question

已知函数y=f（x）是定义在[-6，6]上的奇函数，f（x）在[0，3]上是x的一次函数，在[3，6]上是形如y=a|x-h|+k的函数，且满足f（x）≤f（5）=3，f（6）=2，则f（x）=

 

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Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用绝对值函数的最值求法，可得h=5，k=3，由f（6）=2，解得a=-1．即可得到[3，6]上的解析式，由f（3）=1，可得f（x）在[0，3]上的解析式，再分别令x∈[-3，0]，x∈[-6，-3]，取相反数，运用已得的区间上的解析式，计算即可得到．

解答： 解：由f（x）在[3，6]上满足f（x）≤f（5）=3，f（6）=2，
则当x=5时，f（x）取得最大值3，
由y=a|x-h|+k可得当x=h，且a＜0时，y有最大值且为k，
则有h=5，k=3，
由f（6）=a|6-5|+3=2，解得a=-1．
则当x∈[3，6]时，f（x）=-|x-5|+3，
由f（3）=3-2=1．
则有x∈[0，3]时，f（x）=

1

3

x．
令x∈[-3，0]，则-x∈[0，3]，f（-x）=-

1

3

x，
又f（-x）=-f（x），则f（x）=

1

3

x；
令x∈[-6，-3]时，则-x∈[3，6]，f（-x）=3-|-x-5|=3-|x+5|，
又f（-x）=-f（x），则f（x）=-3+|x+5|．
则有f（x）=

-3+|x+5|，-6≤x≤-3 1 3 x，-3≤x≤3 3-|x-5|，3≤x≤6

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故答案为：

-3+|x+5|，-6≤x≤-3 1 3 x，-3≤x≤3 3-|x-5|，3≤x≤6

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点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数的解析式，考查运算能力，属于中档题．