Question

已知曲线E上的点到直线y=-2的距离比到点F（0，1）的距离大1．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过M（1，4）作曲线E的弦AB，使弦AB以M为中点，求弦AB所在直线的方程；
（3）若直线1：y=x+b与曲线E相切于点P，求以点P为圆心，且与曲线E的准线相切的圆的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）由题意知，曲线E上的点到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等，从而写出抛物线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x 2 1 =4y1 x 2 2 =4y2

及中点坐标公式可得kAB=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，从而写出直线方程；
（3）设切点P（x₀，y₀），从而用导数求斜率，从而求点P，再写圆的方程．

解答： 解（1）∵曲线E上的点到直线y=-2的距离比到点F（0，1）的距离大1，
∴曲线E上的点到直线y=-1的距离与到点F（0，1）的距离相等；
故曲线E为抛物线，焦点为点F（0，1），准线为y=-1；
故方程为：x²=4y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x 2 1 =4y1 x 2 2 =4y2

及中点坐标公式得kAB=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
所以直线AB的方程为y-4=

1

2

(x-1)，
即x-2y+7=0；
（3）设切点P（x₀，y₀），
由y=

x2

4

得y′=

x

2

，
所以

x0

2

=1，x0=2，
即点P（2，1），圆P的半径为2，
所以圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．

点评：本题考查了直线与圆的应用，同时考查了抛物线的定义及导数的应用，属于中档题．