Question

18．如图，某广场中间有一块绿地OAB，扇形OAB所在圆的圆心为O，半径为r，∠AOB=$\frac{π}{3}$，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路；在AB上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设所修建的小路CD与CE的总长为s，∠COD=θ．
（1）试将s表示成θ的函数s=f（θ）；
（2）当θ取何值时，s取最大值？求出s的最大值．

Answer 1

分析 （1）由扇形的半径为r．在△ODC 中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，则∠CDO=$\frac{2π}{3}$，利用正弦定理$\frac{r}{sin∠CDO}=\frac{CD}{sin∠COD}$，可求得CD与CE，从而可得函数s=f（θ）；
（2）利用三角恒等变换，可求得s=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{3}rsinθ+rcosθ=\frac{2\sqrt{3}}{3}rsin（\frac{π}{3}+θ）$，θ∈（0，$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的单调性与最值即可求得s的最大值．

解答 解：（1）由扇形的半径为r，在△ODC 中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，则∠CDO=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得$\frac{r}{sin∠CDO}=\frac{CD}{sin∠COD}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ，同理CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}rsin（\frac{π}{3}-θ）$，
∴s=f（θ）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsin（$\frac{π}{3}$-θ），θ∈（0，$\frac{π}{3}$）；
（2）∵s=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ$+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}rcosθ-\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}rsinθ$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}rsinθ+rcosθ=\frac{2\sqrt{3}}{3}rsin（\frac{π}{3}+θ）$，θ∈（0，$\frac{π}{3}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{π}{3}$+θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴当$\frac{π}{3}$+θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$时，s_max=f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理与两角差与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．