Question

已知双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同，且它们的离心率之和等于

14

5

．
（1）求双曲线的离心率的值；
（2）求双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求出椭圆的焦点和离心率，由已知条件，能求出双曲线的离心率．
（2）由椭圆的焦点，能得到双曲线的焦点，再由双曲线的离心率能求出双曲线的方程．

解答： 解：（1）在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1中，
a²=25，b²=9，c²=16，
离心率e=

4

5

，
∵双曲线与椭圆的离心率之和等于

14

5

，
∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0），
双曲线的离心率e′=

14

5

-

4

5

=2．
（2）∵椭圆焦点在x轴上，
∴其焦点坐标为（±4，0），
∵双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同，
∴双曲线的焦点坐标也在x轴上，坐标为（±4，0），
由题意设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)，
由（1）知，c=4，e′=2，
∴e′=

4

m

=2，
解得m=2，∴n²=16-4=12，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题考查双曲线的离心率和标准方程的求法，解题时要熟练掌握双曲线和椭圆的简单性质．