Question

9．已知某公司生产一种仪器元件，年固定成本为20万元，每生产1万件仪器元件需另外投入8.1万元，设该公司一年内共生产此种仪器元件x万件并全部销售完，每万件的销售收入为f（x）万元，且
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}32.4-\frac{1}{10}{x^2}（0＜x≤10）\\ \frac{324}{x}-\frac{1000}{x^2}（x＞10）\end{array}$
（Ⅰ）写出年利润y（万元）关于年产品x（万件）的函数解析式；
（Ⅱ）当年产量为多少万件时，该公司生产此种仪器元件所获年利润最大？
（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过当0＜x≤10时，当x＞10时，写出年利润y（万元）关于年产品x（万件）的函数解析式；
（Ⅱ）①当0＜x≤10时，通过求解函数的导数求解函数的最值；②当x＞10时，利用基本不等式求解函数的最值．即可得到结果．

解答 解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，$y=xf（x）-（20+8.1x）=24.3x-\frac{x^3}{10}-20$…（3分）
当x＞10时，$y=xf（x）-（20+8.1x）=304-\frac{1000}{x}-8.1x$…（5分）
所以$y=\left\{\begin{array}{l}24.3x-\frac{x^3}{10}-20，（0＜x≤10）\\＜br/＞304-\frac{1000}{x}-8.1x，（x＞10）＜br/＞\end{array}\right.$…6分
（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由$y'=24.3-\frac{{3{x^2}}}{10}=0$，得x=9（负值舍去）．
当x∈（0，9）时，y'＞0；当x∈（9，10）时，y'＜0；
∴当x=9时，y取得极大值也是最大值，
${y_{max}}=24.3×9-\frac{1}{10}×{9^3}-20=125.8$…9分
②当x＞10
时，$y=304-（\frac{1000}{x}+8.1x）≤304-2\sqrt{\frac{1000}{x}×8.1x}=124$
 
当且仅当$\frac{1000}{x}=8.1x$，即$x=\frac{100}{9}$时，y_max=124．…11分
  综合①、②知x=9时，y取最大值，
所以当年产量为9万件时，该公司生产此种仪器获利最大．…12分

点评 本题考查实际问题的解法，函数的导数在最值中的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．