Question

已知函数f（x）=

(x-2a)2(x≤0) 4 x +x+a+1(x＞0)

的最小值为f（0），则a的取值范围是（　　）

• A、[-1，

  5

  4

  ]
• B、[-1，0]
• C、[0，

  5

  4

  ]
• D、[0，2]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=4a²，由于f（0）是f（x）的最小值，则（-∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a²≤x+

4

x

+a+1，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值5+a，解不等式4a²≤5+a，即可得到a的取值范围．

解答： 解：由于f（x）=

(x-2a)2(x≤0) 4 x +x+a+1(x＞0)

，
则当x=0时，f（0）=4a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
则（-∞，0]为减区间，即有a≥0，
则有4a²≤x+

4

x

+a+1，x＞0恒成立，
由x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，当且仅当x=2取最小值4，
则4a²≤5+a，解得-1≤a≤

5

4

．
综上，a的取值范围为[0，

5

4

]．
故选：C．

点评：本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．